✎ ☛ Contre-exemple

Méthode

Pour montrer qu'une propriété est fausse, on peut utiliser un contre-exemple.

Énoncé 1

On considère la proposition : « Pour tous réels \(a\) et \(b\) tels que \(a < b\), on a \(a^2 < b^2\). » Cette proposition est-elle vraie ?

Solution

La proposition est fausse. On utilise le contre-exemple suivant. Soit \(a=-4\) et \(b=-1\).
Alors on a bien \(a <b\), mais \(a^2=16\) et \(b^2=1\), et on a \(a^2\geqslant b^2\).

Énoncé 2

On considère la proposition : « Pour tous réels \(a\) et \(b\), \((a+b)^2=a^2+b^2\). » Cette proposition est-elle vraie ?

Solution

Cette proposition est fausse. On utilise le contre-exemple suivant. Soit \(a=1\) et \(b=1\). 
D'une part, \((1+1)^2=2^2=4\).
D'autre part, \(1^2+1^2=2\) et \(2\neq 4\).